Triangulo de Pascal

TRIANGULO DE PASCAL

Como podéis ver, en el triángulo de Pascal aparecen tanto números pares como números impares. Pues si quitamos los pares obtenemos una bonita disposición fractal, conocida como triángulo de Sierpinski

Veamos ahora algunos objetos matemáticos que podemos encontrar de manera sencilla en el triángulo de Pascal. Por ejemplo, es sencillo encontrar en él los números naturales: están en la    diagonal recuadrada de la imagen de la izquierda. Y también es fácil encontrar los números triangulares: aparecen en la diagonal recuadrada en la imagen de la derecha:

Lo primero que vamos a explicar es el porqué de llamar Fila 0 a la primera fila, Fila 1 a la segunda, y así sucesivamente. Una razón podría ser la siguiente: si sumamos los números de la Fila n, el resultado es exactamente 2n: la suma de los de la Fila 0 es 1, que es 20, los de la Fila 1 suman 2, que es 21, los de la Fila 2 suman 4, que es 22, y otros.

Pero podríamos dar otra razón: los números de la Fila n son los coeficientes del desarrollo del binomio (a+b)n. Lo vemos:

- (a+b)0=1

- (a+b)1=1 · a + 1 · b

- (a+b)2=1 · a2 + 2 · ab + 1 · b2

- (a+b)3=1 · a3 + 3 · a2b + 3 · ab2 + 1 · b3

Un pelín más escondidos, pero no demasiado, están los números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, etc. Están en la misma diagonal de los triangulares, sumando cada dos consecutivos:

Otra curiosidad numérica es que si el segundo número de una fila es primo, entonces el resto de números de esa fila (salvo los unos de los extremos) son múltiplos de dicho número primo. Por ejemplo, en la Fila 6, el segundo número, 5, es primo, y el resto, 10, es múltiplo de 5; y en la Fila 8, el segundo número, 7, es primo, y el resto, 21 y 35, son ambos múltiplos de 7. Podéis generar vosotros mismos más filas del triángulo y comprobar que esta propiedad se cumple siempre.

Y una más relacionada directamente con las filas: si tomamos cada fila como un número, tenemos las potencias de 11. La Fila 0, 1, es 110, la Fila 1, 11, es 111, la Fila 2, 121, es 112, y así sucesivamente… Un momento, ¿qué ocurre, por ejemplo, con la Fila 5, 1-5-10-10-5-1? Pues que, realizando la siguiente operación

1-(5+1)-(0+1)-0-5-1

Obtenemos el número 161051, que es 115. Podéis comprobar que con el resto de filas ocurre lo mismo.

La siguiente propiedad curiosa de este triángulo de Pascal es el llamado stick de Hockey: si comenzáis en un 1 cualquiera y vais en diagonal, la suma de todos los números recorridos es igual al número que os encontréis en la fila siguiente, pero en la diagonal contraria. En la siguiente imagen tenéis algunos ejemplos para que lo entendáis mejor:

Vamos ahora con alguna característica menos evidente, más rebuscada: podemos encontrar la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal. La sucesión de Fibonacci, para quien no la conozca, comienza con F1=1 y F2=1, y el resto de términos se forman sumando los dos anteriores: Fn=Fn-1+Fn-2. Concretamente, sería ésta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. ¿Cómo encontrarla? Echa un ojo a la siguiente imagen:

La sucesión de Fibonacci, muy estudiada y muy comentada en internet (y de la que igual hablamos con mayor profundidad en próximos artículos), aparece en multitud de situaciones en la que no se la esperaba, como ocurre en el triángulo de Pascal. Hay más sucesiones numéricas con esa característica, como la de los números de Catalan, llamada así por el matemático belga Eugène Catalan. Dicha sucesión comienza así: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132… La forma en la que se construye esta sucesión es un poco más compleja, pero si alguien está interesado en verla la tiene aquí.

¿Dónde están los números de Catalan en el triángulo de Pascal? Muy sencillo: tomad la columna central y restadle a cada elemento el número que aparece a su lado en el triángulo:

Y ahora un par de sorpresas que nos da esta magnífica construcción. Para la primera, vamos a trabajar de la siguiente forma. Hemos visto propiedades en las que hay que localizar números, otras en las que hay que sumar los elementos colocados en ciertas posiciones…pero no hemos visto qué ocurre al multiplicar elementos. Pues bien, multipliquemos los elementos de cada fila. Obtenemos así la siguiente lista de números:

{1, 1, 2, 9, 96, 2500, 162000,…}

Vamos ahora a dividir cada número de esa lista entre el anterior, obteniendo esta nueva lista:

{1, 2, 4’5, 10’666…, 26’0417, 64,8,…}

Y ahora volvemos a hacer lo mismo, dividimos cada número de esta nueva lista entre el anterior. Nos queda lo siguiente:

{2, 2’25, 2’370370…, 2’44140625, 2’48832,…}

Y paramos de dividir. Si analizamos lo que ocurre conforme aumenta el valor de n, tenemos que los valores de esta lista se acercan cada vez más al número e. Es decir, realizando las operaciones descritas podemos encontrar el número e en el triángulo de Pascal.

Seguro que, conforme habéis ido leyendo este artículo, algunos de vosotros os habéis preguntado si hay alguna forma de encontrar el número π en este triángulo. Pues sí, se puede encontrar el número π en el triángulo de Pascal. Y no sólo de una manera, sino de (que yo sepa) al menos de dos formas. Dada la complejidad de las mismas, tanto por los conocimientos previos necesarios como por su explicación, os dejo un enlace en el que podéis ver la explicación de este maravilloso hecho.

Y para finalizar con la descripción de curiosidades de esta maravilla de las matemáticas, no podían faltar las conjeturas. Todo objeto matemático que se precie debe tener alguna conjetura asociada a él, y el triángulo de Pascal no podía ser menos. 

Es claro que, excepto el 1, todo número entero positivo aparece en el triángulo de Pascal un número finito de veces (¿por qué?). 

En relación con esto, se conjetura (todavía no está ni demostrado ni refutado) que existe un número M tal que ningún entero positivo aparece más de M veces en nuestro triángulo. Esto es, que el número de apariciones de un entero positivo en el triángulo de Pascal está acotado superiormente, y además esta cota no depende del número. 

Esta conjetura se denomina conjetura de Singmaster, y la verdad es que, aunque se cree que es cierta, no se tiene mucha información sobre cuál podría ser la cota. Se sabe que hay un número, el 3003, que aparece ocho veces en el triángulo, y no se conoce ninguno más que aparezca tantas veces. 

Se piensa que la cota puede ser, como mucho, 10 o 12. Pero lo dicho, por ahora no tenemos más información.

CUBO 

Cubo o hexaedro regular es un poliedro limitado por seis caras cuadradas congruentes. Es uno de los denominados sólidos platónicos.

Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectangular, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos. Incluso, se puede entender como un prisma recto, cuya base es un cuadrado y su altura equivalente al lado de la base.

El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de Euler para poliedros, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (8+6=12+2).

Transcripción de MOVIMIENTO DEL SISTEMA SOLAR


MOVIMIENTOS DE LA TIERRA



ROTACIÓN: es el movimiento principal del planeta Tierra. Este movimiento es el que realiza el planeta sobre su propio eje, determinando así el día y la noche.

MOVIMIENTO HELICOIDAL
La Vía Láctea tiene una forma en espiral de 100.000 años luz de diámetro y un espesor de 1.000 años luz.

El plano en el que se mueven los planetas y el Sol dentro del Sistema Solar no es coplanario con respecto al plano de la Vía Láctea, sino que está inclinado en casi 90°.

MOVIMIENTO HELICOIDAL
Al igual que la Tierra gira en torno al Sol a lo largo de una órbita elíptica, el Sistema Solar también se mueve con respecto a la galaxia en la que se encuentra, describiendo tres tipos de movimientos:

MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS
Los planetas tienen diversos movimientos. Los más importantes son dos: el de rotación y el de translación.

SISTEMA SOLAR

El movimiento más largo y rápido es el movimiento orbital del Sistema Solar alrededor del núcleo de la galaxia.

El segundo movimiento es la oscilación del Sistema Solar de norte a sur, y viceversa, con respecto al plano galáctico
El tercer movimiento es el de vaivén, acercándose y alejándose al centro de la galaxia.
Rotación: giran sobre sí mismos alrededor del eje.

Translación: los planetas describen órbitas alrededor del Sol.

TRASLACIÓN: es el que realiza el planeta Tierra en relación al Sol girando alrededor de él.

PRECESIÓN: o movimiento de trompo es el que hace el planeta Tierra sobre su propio eje.

NUTACIÓN: es un movimiento sobrepuesto a la precesión.